Сумма кубов.

 ФЕНИКС   На связи с единомышленниками           

 Поддержка проекта 

Авторизуйтесь с помощью соцсетей и служб

Сумма кубов.

Автор
Опубликовано: 141 день назад (25 марта 2020)
+4
: 4
Сумма кубов.


Доказать, что сумма кубов последовательных чисел, начиная с 1, - точный квадрат.
x^3 + (х+1)^3 = у^2
346 просмотров
Комментарии (33)
Александр Борисенко # 26 марта 2020 в 01:48 +5
Воот! Никто доказать не может! rofl
Значит - недоказуемо! joke
ШИКО # 26 марта 2020 в 18:57 +6
Обождите, Александр! И Маргаритке по зубам, и Ниф, если захочет, то сможет, и я, вот подраспрягусь. Не торопите! joke
ШИКО # 26 марта 2020 в 19:03 +5
А кстати, где Neta Neta? scratch
Маргаритка # 27 марта 2020 в 00:24 +5
Конечно, недоказуемо! laugh
3^3 + 4^3 = 91
smile
ШИКО # 27 марта 2020 в 10:13 +5
Маргаритка! Не цепляйтесь к неточности приведённой формулы! Вы же прекрасно поняли, что речь не о соседних кубах! А если весна вдруг подействовала, специально для Вас уточню: речь про ряд суммы кубов.
Общая формула будет выглядеть не как приведённая: x^3 + (х+1)^3 = у^2, а иметь такой вид иметь:

∑(X^3) (от 1 до n) = Y^2

А теперь давайте посчитаем.

1^3 = 1
1^3 + 2^3 = 9
1^3 + 2^3 + 3^3 = 36
1^3 + 2+3 + 3^3 + 4^3 = 100

Как видите, пока точные квадраты. Продолжать? Или сами продолжите? Одним словом, дерзайте! laugh
Александр Борисенко # 27 марта 2020 в 12:36 +3
Именно в формуле и содержится главная закавыка, ШИКО! laugh
Но при внесении исправления в формулу, уверен (проверил для 5, 6, 7), равенство соблюдается! smile_16 smile smile_20
Александр Борисенко # 27 марта 2020 в 13:01 +3
Можно сказать даже точнее: ∑(X^3) (от 1 до n) = (n*(n+1)/2)^2 (http://www.math24.ru/конечные-числовые-ряды.html)
smile
ШИКО # 27 марта 2020 в 14:08 +3
А вот здесь вот уже читайте условие! Никаких там закавык!
Маргаритка, кстати, без подсказок бы всё доказала! laugh
Александр Борисенко # 28 марта 2020 в 02:45 +3
В условии та закавыка, что словесный комментарий неоднозначен, можно понять "последовательные", как 1, 2, 3... (как Вы поняли), а можно, как 1+2, 2+3... (как поняла Маргаритка). И формула поддерживает вторую интерпретацию! laugh
ШИКО # 28 марта 2020 в 13:25 +3
Согласился бы с этим, если б не слова в условии: "начиная с 1" - стандартный для математики оборот. К тому жа всё наглядно показано неверно понявшим. joke
Александр Борисенко # 29 марта 2020 в 02:48 +2
"Начиная с 1" можно было понять, как 1^3+2^3, 2^3+3^3, 3^3+4^3 и т.д. Чем не начало с единицы? Между прочим, в авторских рассуждениях в связи с этой задачей только указывается, что иногда то, что сформулировано в задаче, считают уже доказанным, чем нередко грешат начинающие. Затем приводится задача (формулу я добавил "для перцу") laugh
ШИКО # 29 марта 2020 в 04:33 +2
Ну, если и Вам не понятно, что такое стандартный для математики оборот, не вижу смысла сотрясать воздух. joke
Александр Борисенко # 30 марта 2020 в 00:36 +2
Для математиков, быть может, и стандартный, но ведь математические задачи приходится решать и не-математикам! laugh
ШИКО # 30 марта 2020 в 08:43 +2
Да у меня впечатление сложилось, что Маргаритка не так уж и маленечко разбирается в математике, а претензии я высказываю только ей. Специального математического образования я тоже не получал. Курс средней школы, да 3 года на вечернем отделении ВУЗа - всё. Хотя ещё в школе как-то об'яснили мне и про сумму от a ло b, и про интеграл на подобном же интервале... Могла бы, могла девушка догадаться, о чём речь. Не верю, что к 0 1 не смогла прибавить, к 1 - 8. (Немного выйти за пределы условия, чуть увеличить интервал по её интеллекту.) joke
Александр Борисенко # 1 апреля 2020 в 00:02 +2
Среднего образования для клуба достаточно! laugh
ШИКО # 1 апреля 2020 в 20:04 +2
Наша школа тоже была средней, а не элитной, без с математического уклона... Не понял только, почему оправдываться должен не за своё образование. zst
Александр Борисенко # 2 апреля 2020 в 00:50 +2
Для клуба недостаточно среднего уровня среднего образования, требуется ещё склонность к решению задач, но не у всех такая склонность есть. Хорошо это или плохо? Каждый развлекается по-своему! hoho
ШИКО # 2 апреля 2020 в 21:49 +1
У человека, про которого, собственно, речь, нет склонности к решению задач? scratch И это уверяете Вы? scratch
Александр Борисенко # 3 апреля 2020 в 01:39 +1
Я уже окончательно запутался в том, разрешима ли эта задача!

joke
ШИКО # 3 апреля 2020 в 02:31 0
Может, набор знаков от 28 марта 2020 в 15:22 что-то подскажет? joke
Александр Борисенко # 27 марта 2020 в 12:30 +4
getImage 3 Как же так? 2^3 + 3^3 = 8 + 27 = 36 = 6^2. А так хорошо сходилось! shock
Вы правы, Маргаритка! Приведённая формула не даёт оснований для вывода! smile_16 smile smile_19
Маргаритка # 27 марта 2020 в 00:40 +5
Можно доказать, что недоказуемо...
Разложим по формуле "сумма кубов" и получим :
X^3 + (X+1)^3 = (X+ X +1)(X^2 + X +1)
Видим, что справа в скобках суммы не равны, отличаются одним слагаемым. Если бы все слагаемые в скобках были равны, то получился бы точный квадрат. А так- не получился!)
Александр Борисенко # 27 марта 2020 в 12:56 +4
Проверил для 5 и 6 - напрямую и по Вашей, Маргаритка, формуле. Результат одинаковый! dance А формула, надо признать, потрясающая! Никогда бы не додумался! smile_16 smile smile_20
ШИКО # 28 марта 2020 в 15:22 +2
Ну что, Маргаритка? Не желаете мозги напрячь? Предпочитаете на старика ШИКО это всё переложить? Или тоже про метод математической индукции ничего не слышали? Ну что ж, продолжайте делать вид, что не поняли условия!
Прошу прощения у клуба за ту мелкоту, которыми будут обозначены степени, но кому это ещё интересно, может просто скопировать текст в "Блокнот".
Итак, имеем:

1^2 = 1^3
3^2 = 1+8=9
6^2 = 9+27=36
10^2 = 36+64=100
. . . . . . . .

Квадраты того же ряда, что даёт сумма натуральных чисел. Для N случаев это справедливо. Требуется доказать, что для N+!-го случая это также будет справедливо.

∑(1³ + ... +n³) = ((n²+n)/2)²
∑(1³ + ... +n³) = (n⁴ + 2n³ + n²)/4 (1)
Теперь добавим M+1-й член (n+1)³
∑(1³ + ... +n³+(n+1)³) = (n⁴ + 2n³ + n²)/4 + (n+1)³ = (n⁴ + 2n³ + n²)/4 + (n+1)³
(n⁴ + 2n³ + n²)/4 + (n+1)³=(n⁴ + 2n³ + n²)/4 + n³+3n²+3n+1
(n⁴ + 2n³ + n²)/4 + n³+3n²+3n+1 = (n⁴ + 6n³ + 13n² + 12n + 4)/4
Последняя формула в точности соответствует той, если бы в (1) вместо m подставить n + 1. Она также будет равна
(n⁴ + 6n³ + 13n² + 12n + 4)/4
Желающие могут проверить. laugh
То есть то, что справедливо для n случаев, справедливо и для следующего случая, а значит справедливо и для всех последующих случаев. joke
Александр Борисенко # 29 марта 2020 в 02:36 +2
Без промежуточных выкладок не очень понятно, но в целом впечатляет! С выводом, что если справедливо для n, то справедливо и для n+1, можно уверенно согласиться, особенно если вначале доказать справедливость для к (при к=n+1)! laugh
ШИКО # 29 марта 2020 в 04:44 +2
А я боюсь, что и с выкладками никто не захочет понимать. А найдётся вдруг - всё равно мало, что понятно.
Я бы на месте этого "кого-то" не стал уже в кучу формул вникать. joke
ШИКО # 30 марта 2020 в 00:24 +2
У меня мозги уже не те, Александр, чтоб дважды одно доказывать, потом сравнить, что получилось. Тем более, впечатление такое, что никому это не надо. Откровенно если, у меня сомнения, что Вы вникали. Мне достаточно было, что у меня эти две формулы для n+1, полученной через преобразование и для n+1, полученной при подстановке в формулу, сошлись. joke
Александр Борисенко # 30 марта 2020 в 00:46 +2
Вникнуть в чужое решение - тоже полезно! Но не всегда вывод возможно проследить по выкладкам, между тем, именно в незапротоколированной части рассуждений может скрываться бес, даже если результат правильный! joke
ШИКО # 30 марта 2020 в 09:28 +2
Были времена - вникал в чужие решения. Сейчас, повторюсь, мозги уже не те. Хотя соглашусь: всё то, что я вывалил в качестве доказательства - работа ради нескольких байт на сайте. Ничего не понятно, сплошные формулы с парой комментариев. И те сделаны в спешке, только после того, как понял: вряд ли это до кого дойдёт. Одним словом, далеко не учебник по данному разделу математики, а точней - по данной конкретной теме. Но как ни странно, находятся люди, которых и это не пойми что впечатляет. scratch
joke
Александр Борисенко # 1 апреля 2020 в 00:01 +2
Не корысти ради, но токмо ради собственного удовольствия мы щёлкаем задачки и грызём задачищи! smile
ШИКО # 1 апреля 2020 в 21:00 +2
Да у меня-то всё больше нареканий к неопределённости условий становится. Те же "Носки и перчатки" вначале я вовсе не понял, потом понял, да оказалось - не так. С "Задачей учётчика" примерно та же история. До конца задача ток и не решена. Взялся за неё только потому, что никто не брался. Попытался взяться, точнее. Похоже, это уже проблемы возраста. Ну да, не обращайте внимания на старческое брюзжание. joke
Александр Борисенко # 2 апреля 2020 в 01:01 +2
В клубе нет выпускающего редактора. Поэтому могут появляться задачи с недостаточно выверенным условием. Особенно это касается переделок задач (чем я нередко грешу, поскольку хочется что-нибудь натворить joke ). Но ведь оценок в клубе не ставят (кроме баянов и смайликов), а разобрать даже некорректное условие - та же гимнастика! Что и требовалось доказать! dance
ШИКО # 2 апреля 2020 в 21:56 0
Не согласен с выводом, если уж речь завели о гимнастике. От обыкновенных гантель будет много меньше пользы, если они будут неудобными. Ну да, Ваше право иметь свою точку зрения. joke

Новости клубов

3 часа назад
5 часов назад
7 часов назад
12 часов назад
1 день назад
1 день назад
Демид добавляет запись на стене клуба Христианское искусство:
СВЯТОЙ ПРАВЕДНЫЙ ЕВДОКИМ КАППАДОКИЯНИН.
1 день назад