Что больше?

 ФЕНИКС   На связи с единомышленниками           

 Поддержка проекта 

Авторизуйтесь с помощью соцсетей и служб

Что больше?

Автор
Опубликовано: 42 дня назад ( 6 мая 2021)
Редактировалось: 1 раз — 6 мая 2021
+6
: 6
Что больше?


Что больше:
а) 33^44 или 44^33 ?
б) 3^100 + 4^100 или 5^100 ?
в) 300! или 100^300 ?

Спойлер
152 просмотра
Комментарии (12)
Nif # 6 мая 2021 в 13:08 +6
Для сравнения чисел их надо сократить на возможные множители. Примем дробь 44/33 = 1,33.
33^44 = (33^11)*(33^33) = (1.33^11)*(1.33^11)*(18.65^11)*(33^33)
44^33 = (1.33^33)*(33^33) = (1.33^11)*(1.33^11)*(1.33^11))*(33^33)
Теперь можно сократить, получим:
18.65^11 > 1.33^11, значит
33^44 > 44^33
laugh
Александр Борисенко # 7 мая 2021 в 02:16 +4
Хм! scratch Не мудрствуя лукаво, я считал при помощи калькулятора. Вот что получилось:
(33^44) - (44^33) = 6,5254933981071571087666978729513e+66 - 1,7137139186242184960018657807369e+54 =
= 6,5254933981054433948480736544553e+66
Следовательно, Ваше, Nif, рассуждение правильно! smile_16 smile smile_20
А выведение - даже красиво! smile_13
Nif # 6 мая 2021 в 14:05 +6
На вопрос
б) 3^100 + 4^100 или 5^100 ?
Дам лишь ответ:
б) 5^100 > 3^100 + 4^100
joke
Александр Борисенко # 7 мая 2021 в 02:26 +4
Проверяем тем же методом:
3^100 + 4^100 = 5,1537752073201133103646112976562e+47 + 1,6069380442589902755419620923412e+60 =
= 1,6069380442595056530626941036722e+60;
5^100 = 7,8886090522101180541172856528279e+69
(3^100 + 4^100) - 5^100 = -7,8886090506031800098577799997652e+69
Следовательно, 5^100 > (3^100 + 4^100)! dance
Согласен, Nif! smile_16 smile smile_20
Nif # 6 мая 2021 в 15:42 +6
Для решения третьего вопроса в) 300! или 100^300 ? надо порассуждать.
Любой факториал меньше числа в собственной степени N! < N^N
Например 3! = 1*2*3 = 6 меньше 3^3 = 9 и чем больше факториал, тем больше разница.
Значит 300! много меньше, чем 300^300 = (300^100)*(300^100)*(300^100) = (3^100)*(100^100)*(3^100)*(100^100)*(3^100)*(100^100) = (27^100)*(100^300).
Число (27^100)*(100^300) почти равно числу 100^300
Вывод: 300! < 100^300
smile
Александр Борисенко # 7 мая 2021 в 02:38 +4
Эмпирическая проверка:
300! - 100^300 = 3,0605751221644063603537046129727e+614 - 1,e+600 =
3,0605751221643963603537046129727e+614.
Разность положительна, значит 300! > 100^300. smile_6
Но проверим 300! - 300^300 =
3,0605751221644063603537046129727e+614 - 1,3689147905858837599132602738209e+743 =
= -1,3689147905858837599132602738209e+743
Разность отрицательна, значит 300! < 300^300.
Так вот где собака зарыта! laugh
ШИКО # 6 мая 2021 в 21:14 +6
а) 33^44 ≫ 44^33
Для любой пары чисел, больших, чем 2 и 4, когда 2^4=4^2, всегда меньшее число в большей степени будет больше, чем большее - в меньшей. Приведены именно такие числа. 33^44>44^33.
33^44 /44^33 → log₃₃33^44 /log₃₃44^33
33log₃₃44 /44log₃₃33 =3log₃₃44 / (4log₃₃33) = 0,75log₃₃44
Получаем величину, меньшую 1. 0,75log₃₃44=0,81. Иными словами в знаменателе большая величина. Отсюда и 33^44>44^33
ШИКО # 6 мая 2021 в 21:17 +6
б)3^100+4^100≪5^100
3^0+4^0>1
3^1+4^1>5
3^2+4^2=25
3^3+4^3<125
3^4+4^4<625
Чем больше степень, тем быстрей растёт степень 5 по отношению к сумме тех же степеней 3 и 4.
3^100+4^100≪5^100 joke
ШИКО # 6 мая 2021 в 23:14 +5
в) 300! > 100^300
100^300 - произведение 300 раз по 100.
Если 300! расписать, как произведение (300×1)(299×2)...(151×150), то от 50 по 251 минимум произведение пар - четвёртые степени
200×4=800-я степень у 10. Это минимум 400-я у 100 от 300!
300!>100^300 laugh
Александр Борисенко # 7 мая 2021 в 03:09 +4
Эмпирическую проверку 300! и 100^300 я провёл выше. smile
Произведение пар - метод, напоминающий сумму пар юного Гаусса (1+2+...+99+100), но куда как изящнее! Красиво! smile_13
Финальный аккорд - превосходен, ШИКО! smile_16 smile smile_20
Александр Борисенко # 7 мая 2021 в 02:58 +4
Применительно к (3^100+4^100) и 5^100 - индуцируем вывод о минимальных значениях на все остальные: чем больше степень, тем быстрей растёт значение степени суммы слагаемых по сравнению со значением суммы степеней этих слагаемых. v
Отлично, ШИКО! smile_16 smile smile_20
Александр Борисенко # 7 мая 2021 в 02:46 +4
Отличное применение общего правила, ШИКО, применительно к 33^44 и 44^33: "всегда меньшее число в большей степени будет больше, чем большее - в меньшей"! smile_16 smile smile_20
О логарифмах не берусь судить (подзабыл уже zst ), но верю, что также правильно! smile_16 smile smile_20

Новости клубов